解题报告 P1396 营救

题目内容

一张带权图,求从 st 经过的边中的最大边权的最小值

解题思路

要使最大边权最小,说明是瓶颈生成树,而最小生成树即为瓶颈生成树。故跑一遍 Kruskal,由于 Kruskal 是从小到大枚举边,因此如果当加了某条边后 st 联通了,那么这条边的边权就是最终要的结果了。

#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <vector>
#include <algorithm>

using namespace std;

//快读省略

//并查集省略

//边的结构体省略

bool cmp(edge a,edge b)
{
    return a.dist<b.dist;
}

vector<edge> q;
int n,m,s,t;

int kruskal()
{
    sort(q.begin(),q.end(),cmp);
    for(auto &e:q)
    {
        int from=e.from,to=e.to,dist=e.dist;
        if(!u.query(from,to))
            u.uni(from,to);
        if(u.query(s,t))//如果刚好加了这条边之后s和t联通了
            return dist;//说明当前边一定就是最大的了
    }
}

int main()
{
    n=read(),m=read(),s=read(),t=read();
    int u,v,w;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        u=read(),v=read(),w=read();
        q.push_back(edge(u,v,w));
    }
    printf("%d\n",kruskal());
    return 0;
}

解题报告 P1991 无线通讯网

题目内容

P1991

大意:国防部计划用无线网络连接若干个边防哨所。2 种不同的通讯技术用来搭建无线网络;

每个边防哨所都要配备无线电收发器;有一些哨所还可以增配卫星电话。

任意两个配备了一条卫星电话线路的哨所(两边都ᤕ有卫星电话)均可以通话,无论他们相距多远。而只通过无线电收发器通话的哨所之间的距离不能超过 D,这是受收发器的功率限制。收发器的功率越高,通话距离 D 会更远,但同时价格也会更贵。

收发器需要统一购买和安装,所以全部哨所只能选择安装一种型号的收发器。换句话说,每一对哨所之间的通话距离都是同一个 D。你的任务是确定收发器必须的最小通话距离 D,使得每一对哨所之间至少有一条通话路径(直接的或者间接的)。

解题思路

明确题意:p 个哨所,s 个卫星电话,有卫星电话连起来的话就可以无限距离传信息,否则只能用无线收发器,求无线收发器的最小的最大功率。

抽象:一个完全图,顶点就是各个哨所,如果不看卫星电话的话,就是求一个最小生成树,找出他的最大边。但是由于卫星电话可以直接干掉任何距离,所以就一定要考虑这个问题。

具体的解法是求出最小生成树,然后同时干掉生成树的最大的 s-1 条边,因为只有这样才可以使得剩余生成树上的边的最大权值最小。

可以使用 Kruskal 算法,由于一共有 p-1 条边,卫星电话可以解决掉的是前 s-1 条边,由于 Kruskal 枚举的边是从小到大的顺序,因此可以记录枚举的边的数量,当枚举到第 (p-1)-(s-1) 条边即第 p-s 条边的时候就直接停止,直接输出当前边的权值即可。

别脑残写错 dist 函数就行

#include <cstdio>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;

const int maxn=50050;

struct unionset
{
    int bin[maxn];
    unionset()
    {
        for(int i=1;i<=maxn;i++)
            bin[i]=i;
    }
    int anc(int x)
    {
        if(bin[x]!=x)
            return bin[x]=anc(bin[x]);
        return bin[x];
    }
    void uni(int x,int y)
    {
        bin[anc(x)]=anc(y);
    }
    bool query(int x,int y)
    {
        return anc(x)==anc(y);
    }
}u;

struct edge
{
    int from,to;
    double dist;
    edge(){}
    edge(int _from,int _to,double _dist)
    {
        this->from=_from;
        this->to=_to;
        this->dist=_dist;
    }
};

double dist(int x1,int y1,int x2,int y2)//欧几里得距离
{
    return sqrt((x1-x2)*(x1-x2)+(y1-y2)*(y1-y2));
}

int s,p,x[maxn],y[maxn];
vector<edge> v;

bool cmp(edge a,edge b)
{
    return a.dist<b.dist;
}

void kruskal()
{
    sort(v.begin(),v.end(),cmp);
    int cnt=0;//统计当前枚举的边的数量
    for(auto e:v)
    {
        if(!u.query(e.from,e.to))
        {
            u.uni(e.from,e.to);
            cnt++;
            if(cnt==p-s)//如果当前到了第 p-s 条边
            {
                printf("%.2f\n",e.dist);//就直接输出跑路
                return;
            }
        }
    }
}

int main()
{
    scanf("%d %d",&s,&p);
    for(int i=1;i<=p;i++)
        scanf("%d %d",x+i,y+i);
    for(int i=1;i<=p;i++)//完全图的边枚举
        for(int j=i+1;j<=p;j++)//卡常,减少循环的次数
        {
            v.push_back(edge(i,j,dist(x[i],y[i],x[j],y[j])));
            v.push_back(edge(j,i,dist(x[i],y[i],x[j],y[j])));
        }
    kruskal();
    return 0;
}

解题报告 P2330 [SCOI2005]繁忙的都市

题目内容

P2330

大意:城市 C 是一个非常繁忙的大都市,城市中的道路十分的拥挤,于是市长决定对其中的道路进行改造。城市 C 的道路是这样分布的:城市中有n个交叉路口,有些交叉路口之间有道路相连,两个交叉路口之间最多有一条道路相连接。这些道路是双向的,且把所有的交叉路口直接或间接的连接起来了。每条道路都有一个分值,分值越小表示这个道路越繁忙,越需要进行改造。但是市政府的资金有限,市长希望进行改造的道路越少越好,于是他提出下面的要求:

  1. 改造的那些道路能够把所有的交叉路口直接或间接的连通起来。
  2. 在满足要求1的情况下,改造的道路尽量少。
  3. 在满足要求1、2的情况下,改造的那些道路中分值最大的道路分值尽量小。

输出两个整数 s, max,表示你选出了几条道路,分值最大的那条道路的分值是多少。

解题思路

把所有的交叉路口直接或间接的连通起来

生成树

改造的那些道路中分值最大的道路分值尽量小

瓶颈生成树

由于 MST 一定是瓶颈生成树,所以直接跑一遍最小生成树即可。只是输出的时候要输出选出的边的条数和最大的边权,跑生成树的时候记得记录最大值,最后输出点数减一即可。

#include <cstdio>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int maxn=305;

struct unionset
{
    int bin[maxn];
    unionset()
    {
        for(int i=1;i<=maxn;i++)
            bin[i]=i;
    }
    int anc(int x)
    {
        if(bin[x]!=x)
            return bin[x]=anc(bin[x]);
        return bin[x];
    }
    void uni(int x,int y)
    {
        bin[anc(x)]=anc(y);
    }
    bool query(int x,int y)
    {
        return anc(x)==anc(y);
    }
}u;

struct edge
{
    int from,to,dist;
    edge(){}
    edge(int _from,int _to,int _dist)
    {
        this->from=_from;
        this->to=_to;
        this->dist=_dist;
    }
};

int n,m;
vector<edge> v;

bool cmp(edge a,edge b)
{
    return a.dist<b.dist;
}

void kruskal()
{
    int _max=-0x3f3f3f3f;
    sort(v.begin(),v.end(),cmp);
    for(auto e:v)
    {
        if(!u.query(e.from,e.to))
        {
            u.uni(e.from,e.to);
            _max=max(_max,e.dist);//记录的是最长边的大小
        }
    }
    printf("%d %d\n",n-1,_max);
    return;
}

int main()
{
    scanf("%d %d",&n,&m);
    int x,y,c;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        scanf("%d %d %d",&x,&y,&c);
        v.push_back(edge(x,y,c));
        v.push_back(edge(y,x,c));
    }
    kruskal();
    return 0;
}

解题报告 P1546 最短网络 Agri-Net

题目内容

FJ 已经给他的农场安排了一条高速的网络线路,他想把这条线路共享给其他农场。为了用最小的消费,他想铺设最短的光纤去连接所有的农场。

你将得到一份各农场之间连接费用的列表,你必须找出能连接所有农场并所用光纤最短的方案。每两个农场间的距离不会超过 10^5

解题思路

农场之间要联通,使得光缆最小,所以要用最小生成树,跑一遍 Kruskal 就可以了。

代码:

#include <cstdio>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int maxn=105;

struct unionset
{
    int bin[maxn];
    unionset()
    {
        for(int i=1;i<=maxn;i++)
            bin[i]=i;
    }
    int anc(int x)
    {
        if(bin[x]!=x)
            return bin[x]=anc(bin[x]);
        return bin[x];
    }
    void uni(int x,int y)
    {
        bin[anc(x)]=anc(y);
    }
    bool query(int x,int y)
    {
        return anc(x)==anc(y);
    }
}u;

struct edge
{
    int from,to,dist;
    edge(){}
    edge(int _from,int _to,int _dist)
    {
        this->from=_from;
        this->to=_to;
        this->dist=_dist;
    }
};

int n;
vector<edge> v;

bool cmp(edge a,edge b)
{
    return a.dist<b.dist;
}

int kruskal()
{
    int ans=0;
    sort(v.begin(),v.end(),cmp);
    for(auto e:v)
    {
        if(!u.query(e.from,e.to))
        {
            u.uni(e.from,e.to);
            ans+=e.dist;
        }
    }
    return ans;
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    int tmp;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            scanf("%d",&tmp);
            if(tmp)
                v.push_back(edge(i,j,tmp));
        }
    printf("%d\n",kruskal());
    return 0;
}

解题报告 P1194 买礼物

题目内容

P1194

大意:小明买B件价格都为A的礼物,商店有促销,说如果买了I再买J,价格可优惠为K_{I,J}元,保证K_{I,J}=K_{J,I}K_{I,I}=0

给定上述数据,求小明花费的最小值

解题思路

嗯,我们可以将这些礼物抽象成图的节点,优惠价格抽象成边,于是这道题就是让我们求这张图的最小生成树。

最小生成树的权值之和再加上一个物品的价格就是小明需要花的总价格

我使用的是Kruskal算法,但是:

坑点:

  • 读入时给出的是邻接矩阵,读入时记得去掉重边(不去好像没关系,但去掉之后可以优化排序时的常数,时间快了一倍(亲测))
  • 记得定义edge结构体的cmp函数
  • 最重要的:优惠后的价格可能比原价还要贵妈的就是因为这个第一次WA了#11,输出时要判断。

代码:

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <vector>
using namespace std;

struct unionset//并查集维护kruskal
{
    int bin[505];
    unionset()
    {
        for(int i=1;i<=505;i++)
            bin[i]=i;
    }
    int anc(int x)
    {
        if(x==bin[x])
            return x;
        else return bin[x]=anc(bin[x]);
    }
    bool query(int x,int y)
    {
        return anc(x)==anc(y);
    }
    void uni(int x,int y)
    {
        bin[anc(x)]=anc(y);
    }
}u;

struct edge//边的结构体
{
    int from,to,dist;
    edge(){}
    edge(int _from,int _to,int _dist)
    {
        this->from=_from;
        this->to=_to;
        this->dist=_dist;
    }
};

bool cmp(edge a,edge b)//edge定义的比较函数
{
    return a.dist<b.dist;
}

int a,b;
vector<edge> q;//存储边用的

int kruskal()
{
    int ans=0;
    sort(q.begin(),q.end(),cmp);//排序时用迭代器不会错
    for(auto &e:q)//我爱C++11
    {
        int from=e.from,to=e.to,dist=e.dist;
        if(!u.query(from,to))
        {
            u.uni(from,to);
            ans+=dist;
        }
    }
    return ans;
}

int main()
{
    scanf("%d %d",&a,&b);
    for(int i=1;i<=b;i++)
    {
        for(int j=1;j<=b;j++)
        {
            int k;
            scanf("%d",&k);
            if(k&&j<=i)//j<=i可以去掉邻接矩阵的重边
                q.push_back(edge(i,j,k));
        }
    }
    int ans=kruskal();
    printf("%d\n",a+ans<a*b?a+ans:a*b);//输出时特判
    return 0;
}