贵阳19-20九上期末数学T15题解

题干

Rt\triangle ABC纸片中,\angle ACB=90°AC=2BC=4。如图,直角顶点C在原点,点Bx轴负半轴上,当点Cy轴上向上移动时,点B也随之在x轴上向右移动,当点B到达原点时,点C停止移动、在移动过程中,点A到原点的最大距离是?

分析

首先,读懂题干。

题干的意思是,有一个三边确定长度的直角三角形ABC,B点和C点都在坐标轴上,让我们寻找OA的最大值。

在考场上多画几个示意图便知,A点的运动轨迹不是一条规则的曲线,遂放弃找轨迹方法。

Geogebra 画出来的,可见其不规则

遇到这种问题,首先要找的就是不变量。

这道题很明显是一个直角三角形在坐标轴中运动,观察三角形CBO,发现其为一个斜边不变的直角三角形,遂连接斜边中线OM。

连接OM后,发现OM是一个定值等于2,又惊喜的发现AM也是一个不变量为2\sqrt{2},此时OM,AM,OA构成了一个动态三角形,可以发现,OM+AM\ge OA,且OM,AM为定值,故OA的最大值为2+2\sqrt{2},此题得解。

方便理解

最大的情况:

反思

这道题一反以往贵阳常态,不再关注动点走的轨迹,而是通过不变量来确定最大值,但大多数同学的错解都是2\sqrt{5},连蒙带猜肯定是不得行的。本人此题花了约2分钟读懂题干,4分钟找A点运动路径,4分钟想出正解。

此类题型已不新鲜,变式繁杂多样,如果按照去年贵阳中考15题延续了期末15题的情况的话,今年中考的15题也有可能是以这个模型为蓝本,进行进一步的变式。

祝我们好运